L'Identité Pythagoricienne en Trigonométrie

Qu'est-ce que l'Identité Pythagoricienne ?

L'Identité Pythagoricienne est une identité trigonométrique fondamentale qui relie les carrés des fonctions sinus et cosinus à la constante 1. Elle est dérivée du théorème de Pythagore et forme la base de nombreuses autres identités trigonométriques.

Les Trois Formes de l'Identité Pythagoricienne

Il existe trois formes principales de l'Identité Pythagoricienne :

1. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
2. $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$
3. $1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$

Où :

• $\theta$ est n'importe quel angle
• $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$, $\sec$, et $\csc$ sont des fonctions trigonométriques

Dérivation et Explication

La première forme de l'Identité Pythagoricienne (${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$) peut être dérivée directement du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle inscrit dans un cercle unitaire :

Considérons un triangle rectangle avec une hypoténuse de 1 (rayon du cercle unitaire) :

• La longueur du côté opposé est $\sin \theta$
• La longueur du côté adjacent est $\cos \theta$

En appliquant le théorème de Pythagore :

$$\begin{array}{rl}(\text{opposé}{)}^2+(\text{adjacent}{)}^2& =(\text{hypoténuse}{)}^2\\ (\sin \theta {)}^2+(\cos \theta {)}^2& =1^2\\ {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta & =1\end{array}$$

Exemple de Calcul

Vérifions l'Identité Pythagoricienne pour $\theta =30°$ :

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}30°+{\cos }^{2}30°& =(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2\\ & =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\ & =1\end{array}$$

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre un triangle 30-60-90 inscrit dans le cercle unitaire, représentant visuellement l'Identité Pythagoricienne pour $\theta =30°$.