Calculateur de Fonction Digamma

Qu'est-ce que la Fonction Digamma ?

La fonction digamma, notée \(\psi(x)\), est une fonction spéciale définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma. Elle joue un rôle crucial dans divers domaines des mathématiques, notamment l'analyse complexe, la théorie des nombres et les statistiques.

Formule et sa signification

La fonction digamma est définie comme :

\[\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln(\Gamma(x)) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]

Où \(\Gamma(x)\) est la fonction gamma.

Pour les entiers positifs n, la fonction digamma peut être exprimée comme :

\[\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]

Où \(\gamma\) est la constante d'Euler-Mascheroni.

Étapes de calcul

1. Pour les grandes valeurs de x, nous utilisons le développement asymptotique :

\[\psi(x) \approx \ln(x) - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \cdots\]

2. Pour les plus petites valeurs de x, nous utilisons la relation de récurrence :

\[\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\]

3. Appliquer ces formules de manière itérative pour calculer la valeur de la fonction digamma.

Exemple de calcul

Calculons \(\psi(5)\) :

1. En utilisant la formule pour les entiers positifs :

\[\psi(5) = -\gamma + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})\]

2. En substituant la valeur de \(\gamma \approx 0.5772156649\) :

\[\psi(5) \approx -0.5772156649 + 2.0833333333 \approx 1.5061176684\]

Représentation visuelle

Ce graphique représente la forme générale de la fonction digamma. Elle augmente de façon monotone pour x > 0 et présente des pôles aux entiers non positifs.