Calculateur de Polygone Régulier

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est une forme géométrique fermée à deux dimensions avec des côtés droits, où tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs sont égaux. Les exemples incluent les triangles équilatéraux, les carrés, les pentagones réguliers, etc.

Comment calculer les propriétés d'un polygone régulier

Pour comprendre pleinement un polygone régulier, nous devons calculer plusieurs propriétés clés : le nombre de côtés, la longueur des côtés, le rayon inscrit (apothème), le rayon circonscrit, les angles intérieurs et extérieurs, l'aire et le périmètre. Chacune de ces propriétés fournit des informations uniques sur la taille et la forme du polygone.

Formules

Voici les formules essentielles pour un polygone régulier :

1. Rayon inscrit (r) ou apothème :

\[ r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})} \]

2. Rayon circonscrit (R) :

\[ R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})} \]

3. Longueur du côté (a) :

\[ a = 2r\tan(\frac{\pi}{n}) \]

4. Angle intérieur (x) :

\[ x = \frac{(n-2)\pi}{n} \]

5. Angle extérieur (y) :

\[ y = \frac{2\pi}{n} \]

6. Aire (A) :

\[ A = \frac{1}{2}na^2\cot(\frac{\pi}{n}) \]

7. Périmètre (P) :

\[ P = na \]

Où :

• \(n\) est le nombre de côtés
• \(a\) est la longueur du côté
• \(r\) est le rayon inscrit (apothème)
• \(R\) est le rayon circonscrit
• \(\pi\) (pi) vaut environ 3,14159

Étapes de calcul

1. Déterminer le nombre de côtés (n) et une autre propriété (généralement la longueur du côté, le rayon inscrit ou le rayon circonscrit)
2. Calculer les propriétés restantes en utilisant les formules ci-dessus
3. Calculer les angles intérieurs et extérieurs
4. Calculer l'aire et le périmètre

Exemple et représentation visuelle

Calculons les propriétés d'un pentagone régulier (n = 5) avec un rayon inscrit (apothème) de 5 unités :

1. Nombre de côtés : \(n = 5\)
2. Rayon inscrit : \(r = 5\) unités
3. Longueur du côté : \(a = 2r\tan(\frac{\pi}{n}) = 2(5)\tan(\frac{\pi}{5}) \approx 5,88\) unités
4. Rayon circonscrit : \(R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{5,88}{2\sin(\frac{\pi}{5})} \approx 6,18\) unités
5. Angle intérieur : \(x = \frac{(n-2)\pi}{n} = \frac{3\pi}{5} \approx 108°\)
6. Angle extérieur : \(y = \frac{2\pi}{n} = \frac{2\pi}{5} = 72°\)
7. Aire : \(A = \frac{1}{2}na^2\cot(\frac{\pi}{n}) = \frac{1}{2}(5)(5,88)^2\cot(\frac{\pi}{5}) \approx 86,60\) unités carrées
8. Périmètre : \(P = na = 5(5,88) = 29,40\) unités

Voici une représentation visuelle de ce pentagone régulier :

Dans ce diagramme, vous pouvez voir le pentagone régulier avec ses propriétés clés étiquetées. Le cercle bleu représente le cercle inscrit (de rayon r), et le cercle rose en pointillés représente le cercle circonscrit (de rayon R). La ligne verte montre une longueur de côté (a), et la ligne orange représente l'apothème (r). Les angles intérieurs et extérieurs sont également indiqués.