Calculateur de Triangle

Qu'est-ce qu'un Calculateur de Triangle ?

Un calculateur de triangle est un outil qui aide à calculer diverses propriétés et mesures des triangles. Il peut calculer les longueurs des côtés, les angles, l'aire, le périmètre et d'autres caractéristiques géométriques à partir des données fournies.

Caractéristiques Principales des Calculateurs de Triangle

• Résoudre les côtés ou angles manquants
• Calculer l'aire et le périmètre
• Déterminer le type de triangle (scalène, isocèle, équilatéral)
• Calculer les segments spéciaux (médianes, hauteurs, bissectrices)
• Visualiser le triangle selon les valeurs saisies

Formules pour les Triangles

Soit \(a\), \(b\), et \(c\) les longueurs des côtés d'un triangle, et \(A\), \(B\), et \(C\) les angles opposés à ces côtés respectivement. Alors :

1. Périmètre : \(P = a + b + c\)
2. Aire (formule de Héron) : \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), où \(s = \frac{a+b+c}{2}\) (demi-périmètre)
3. Angles (Loi des cosinus) : \[A = \arccos(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})\] \[B = \arccos(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac})\] \[C = \arccos(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})\]
4. Hauteurs : \[h_a = \frac{2A}{a}, h_b = \frac{2A}{b}, h_c = \frac{2A}{c}\]
5. Bissectrices : \[t_a = \frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}, t_b = \frac{2ac\cos(B/2)}{a+c}, t_c = \frac{2ab\cos(C/2)}{a+b}\]
6. Médianes : \[m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\] \[m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}\] \[m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\]

Exemple de Calculs

Calculons ces propriétés pour un triangle avec les côtés \(a = 3\), \(b = 4\), et \(c = 5\) unités :

1. Périmètre : \[P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \text{ unités}\]
2. Demi-périmètre : \[s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ unités}\]
3. Aire : \[A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6 \text{ unités carrées}\]
4. Angles : \begin{align*} A &= \arccos(\frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 5}) \approx 36,87^\circ \\ B &= \arccos(\frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}) \approx 53,13^\circ \\ C &= \arccos(\frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}) = 90^\circ \end{align*}
5. Hauteurs : \begin{align*} h_a &= \frac{2A}{a} = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4 \text{ unités} \\ h_b &= \frac{2A}{b} = \frac{2 \cdot 6}{4} = 3 \text{ unités} \\ h_c &= \frac{2A}{c} = \frac{2 \cdot 6}{5} = 2,4 \text{ unités} \end{align*}
6. Bissectrices : \begin{align*} t_a &= \frac{2bc\cos(A/2)}{b+c} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(36,87^\circ/2)}{4+5} \approx 3,61 \text{ unités} \\ t_b &= \frac{2ac\cos(B/2)}{a+c} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(53,13^\circ/2)}{3+5} \approx 3,28 \text{ unités} \\ t_c &= \frac{2ab\cos(C/2)}{a+b} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ/2)}{3+4} \approx 2,40 \text{ unités} \end{align*}
7. Médianes : \begin{align*} m_a &= \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 5^2 - 3^2} \approx 4,27 \text{ unités} \\ m_b &= \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 - 4^2} \approx 3,61 \text{ unités} \\ m_c &= \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 4^2 - 5^2} = 3 \text{ unités} \end{align*}

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre le triangle rectangle avec les dimensions et angles calculés.