La décroissance exponentielle est un modèle mathématique qui décrit comment les quantités diminuent au fil du temps à un taux proportionnel à la quantité actuelle. Ce modèle est courant dans divers phénomènes naturels et scientifiques, tels que la désintégration radioactive, le déclin de population et le refroidissement d'objets chauds.
Formule
La formule de la décroissance exponentielle est :
\[ A = P(1 - r)^t \]
Où :
\( A \) est le montant final
\( P \) est le montant initial principal
\( r \) est le taux de décroissance (sous forme décimale)
\( t \) est la période de temps
Étapes de Calcul
Calculons la décroissance exponentielle pour une substance radioactive :
Données :
Montant initial (\( P \)) = 100 grammes
Taux de décroissance (\( r \)) = 10% = 0,10
Temps (\( t \)) = 5 ans
Appliquer la formule de décroissance exponentielle :
\[ A = P(1 - r)^t \]
Substituer les valeurs connues :
\[ A = 100(1 - 0,10)^5 \]
Effectuer le calcul :
\[ A = 100 \times 0,59049 \]
\[ A = 59,049 \]
Exemple et Représentation Visuelle
Visualisons la décroissance exponentielle au fil du temps :
Ce graphique illustre :
La valeur initiale (100 grammes) au début
La diminution rapide au fil du temps
La valeur finale (59,049 grammes) après 5 ans
La courbe caractéristique de la décroissance exponentielle
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